The power of mathematical thinking
Jordan Ellenberg
引言
二战中,Abraham Wald在哥伦比亚大学的统计研究小组工作。他正确指出:受伤返回的战机,引擎部分弹孔最少,这里恰恰需要增加装甲,因为引擎中弹的战机多数没能飞回来。
本质上这是一个样本偏差问题,即所谓survivorship bias。另一个例子是统计十年间mutual fund的年均增长率,往往忽略了那些在此期间破产的基金。
第1章
拉弗曲线,源自1974年芝大经济学教授Arthur Laffer和后来鼎鼎大名的迪克·切尼、拉姆斯菲尔德等人在华盛顿一家酒店讨论税务问题时画出的一条曲线。税率是0和100%时,政府税收均为0,中间有一个极值点,可能还有一批最值点。
第3章
如果我们把数学的目标仅定为“得出正确答案”,并以此作为测试依据,那么我们培养的学生很有可能考试成绩优秀,却对数学一窍不通。
第8章
毕达哥拉斯反证2的平方根为无理数:
如果2的平方根等于m/n,其中m、n为没有公因数的整数,则m、n不可能同时为偶数。
2=m^2/n^2,2n^2=m^2
这说明m^2是偶数,亦即m是偶数,可写为m=2k
则前式可写为2n^2=m^2=(2k)^2=4k^2,亦即n^2=2k^2
因此n也是偶数。这与前提相反,因此2的平方根不可能是有理数。
日语subaru是昴星团(pleiades)的意思。
第9章
p值操控:对数据进行严刑拷打,直到它们招供才罢手。
第10章
2009年,艾哈迈迪内贾德在伊朗大选中连任总统。哥伦比亚大学两名研究生分析了4名主要候选人在29个省得到的选票数,共116个数字,发现位数7出现的概率是正常概率的两倍,因此认为选举结果是人为杜撰的。
彩票的期望值:假设一种彩票定价1元,共发行1000万张,只设一个奖,奖金为600万元,那么其期望值为:
9999999/10000000*0+1/10000000*6000000=0.6元。
第15章
一张四百万像素的照片可以被视为四百万维空间中的一个点,那么四百万像素的视频就是一条线了。
相关性不可传递。甲持有股票A、B;乙持有股票B、C;丙持有股票C、D。甲乙的收益率有相关性,乙丙的收益率有相关性,但甲丙的收益率并不相关。
年初去世的美国最高法院大法官Antonin Gregory Scalia:只有形式主义才能决定一个政府实施的是法治,而不是人治。
澳洲数学家陶哲轩:在大众心目中,离群索居(还可能有点儿疯狂)的天才往往对文献资料等前人智慧的结晶视而不见,但他们总能获得神秘的灵感,在所有专家都一筹莫展的时候,为某个问题提供独创性的解决方法,令所有人大吃一惊。这样的人物形象的确充满传奇色彩,但至少在现代数学领域是不存在的。
德国数学家David Hilbert评论哥廷根大学不愿聘用女性数学家Emmy Moether:我们办的是大学,不是澡堂。
Scott Fitzgerald:一流的智力应该具备同时考虑两种相互矛盾的观点并且正常运转的能力。
Jordan Ellenberg:数学研究从头到尾都让人充满激情,同时要受到理性的束缚。但这并不矛盾,逻辑会给我们留出一点儿狭小的缝隙,当直觉穿过这道缝隙之后将会发出耀眼的光芒。
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