传阅：关于数学教育的意见
本文整理自丘成桐教授于 2020 年 12 月 7 日在北京雁栖湖举行的 2020 年清华大学全国重点中学校长会暨 2020 年基础学科拔尖人才衔接培养论坛上的演讲稿。
今天很高兴和各位校长沟通交流，我想结合我自己的亲身经历来谈谈我对中学教育尤其是中学数学教育的看法。其实我没有受过师范学校的训练，也没有在中学教过书，但我也着实有兴趣和孩子们交流，纯洁可爱的孩子总是令人喜悦。我想分几个部分来解释我的看法。
一、家庭教育
我在 1960 年通过考试到香港培正中学读书。我的小学教育则是在香港的乡村完成的，连最基本的英文和算术都不够水平，所以念中学一年级时需要比较用功才能追上培正的课程。但是在乡下的学校闲散惯了，始终提不起很大的兴趣。当时的班主任是一位女老师叫叶息机老师，培正中学当时每学期有三段考试和老师写评语，第一期叶老师说我多言多动，第二期说我仍多言多动，最后一期结语说略有进步，可见我当时读书的光景。
所幸的是先父母对我管教甚严，甚至我的姊姊们也帮忙引领我进入正途。先父丘镇英，1935 年厦门大学政治经济学专业毕业，翌年进入日本早稻田大学大学院深造，专攻政治制度与政治思想史。先父当学院的教授时候，学生常到家中论学，使我感受良多。我 10 岁时，父亲要我和我的大哥念唐诗、宋词，背诵古文。第一篇读札记《嗟来之食》，然后练《五柳先生传》，“百里奚，五羊皮”，《孔子世家》等短文。
我们兄弟姐妹爱看武侠小说，父亲觉得这些小说素质不高，便买了很多章回小说，还要求孩子们背诵里面的诗词。因为读了很多遍，到现在我还记得《红楼梦》里的诗词。到中学一年级，父亲让我读鲁迅、王国维的著作，还有冯友兰的《新原道》、《新原人》等哲学著作。西方的书籍如歌德的《浮士德》，也试着让孩子们读。先父在哲学和文学的教导，影响了我以后在数学的研究和看法。
我至为感激我父母从来没有鼓励我去找寻物质的享受，总是希望我们有一个崇高的志愿。他在哲学上的看法，尤其述说希腊哲学家的操守，和寻求大自然的真和美，使我觉得数学是一个高尚而雅致的学科，好的数学家也能留名后世。
父亲在所著《西洋哲学史》的引言中引用了《文心雕龙·诸子》篇的一段：“嗟夫，身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。”这一段话激励我，使我立志清高，也希望有所创作，能够传诸后世。
我父亲一直关心着国内大事，常常教育子女，做人立志必须以国家为前提。我也很喜欢读司马迁的诗辞。司马迁的 “究天人之际”正可以来描述一个读书人应有的志向。一个人的成长就像鱼在水中游泳，鸟在空中飞翔，树在林中长大一样，受到周边环境的影响。历史上未曾出现过一个大科学家在没有文化的背景里，能够创造伟大发明的例子。
可惜的是，这十多年来，中国有很多教育工作者忘记了教育的初心，利用教育来达到私人的目的。在台湾，有些政客为了自己的理念，在中小学实行所谓“去中国化”的政策，十多年下来，很多年轻人不再懂得珍惜丰富的中国文化，不知道自己的根在何方。在香港，大部分中小学生不需要修历史课，因为管理教育的官员认为这些学科并不重要，他们认为在中学，教一些简易的通识教育就足够了。其结果是，不少香港学生竟然搞不清楚什么是《南京条约》。没有足够的文化背景，科技的成长也遇到极大的困难。而在去年，更造成社会动乱的局面。
一个成功的学者需要吸收历史上累积下来的成果，并且与当代的学者切磋产生共鸣。人生苦短，无论一个人多聪明，多有天分，也不可能漠视几千年来伟大学者共同努力得来的成果。这是人类了解大自然、了解人生、了解人际关系累积下来的经 验，不是一朝一夕所能够成就的。所以一个人小的时候博览群书是非常重要的。
有一位日本 80 后作家加藤嘉一曾在他的书《中国的逻辑》里谈到中国的知识非常廉价，中国人不把读书当回事，一本书的价格还不如星巴克的一杯咖啡。中国的物价、房价都在涨，独书价不涨。他认为，只要中国人不爱读书，不论经济怎么发展都是可以小瞧的。这一点很让人担忧，希望我们的中学生能像美国的中学生那样，多读有价值的课外书。
我在小学那段学习的数学没有引起我的兴趣，除了简单的四则运算外，就是鸡兔同笼等问题，因此大部分时间花在看小说和到山间田野去玩耍。也背诵先父教导的古文和诗词，反而有益身心。
在中学一年班，开始学习线性方程，从前用在鸡兔同笼公式可以用线性方程来解答，不用记公式了，因此我觉得很是兴奋，成绩也比小学的时候好，家父也比较欣慰。我父亲在我读九年级（初中三年级）的时候就去世了。先父的去世使我们一家陷入困境。但我母亲坚持认为孩子们应该继续学业。尽管当时我有政府的奖学金，但除了学费外，还需要其他支出。因此我业余出去教小孩们数学来挣钱。
有一次我替一个小学六年级的孩子补习数学。她家很富有，但是她数学成绩很差，几乎得零分。我发现她完全弄不明白鸡兔同笼的问题是怎么回事。所以我认为解决这个问题的唯一方法就是教她线性方程。她妈妈对此很震惊，她认为她女儿六年级的数学还一塌糊涂，我却教她七年级的数学。她认为这是荒唐的。我请她耐心点，给我一个月的时间。她极不情愿，但还是让我试试，这女孩开始在我的帮助下学习线性方程。
结果奇迹出现了，她完全不费劲地就能解决这些关于鸡兔的问题，并且考试得了满分。她家非常高兴，决定让我教他们女儿所有的学科，包括英语在内，但是我的英语能力有限，所以没有教。从这个故事里面我想说明的是，教育者在教育孩子的时候方法要灵活。这种观点是我们孔子率先提出的，要根据各人的长处和背景来因材施教。
我参考了历史上著名学者的生平，我发觉大部分成名的学者都有良好的家庭背景。人的成长规律很多，奥秘也很多，相关的学术观点也是莫衷一是。但是良好的家教，无论如何都是非常重要的。童年的教育和启蒙教育是不可替代的，它往往奠定一生事业的基础。虽然家长可能受教育的程度不高或家境贫困，但他仍然可以用他的爱心来鼓励孩子，在孩子很小的时候培养孩子的学习习惯和学习乐趣。
对孩子们来说，学到多少知识并不见得最重要。兴趣的培养才是决定其终身事业的关键。我小学的成绩并不理想，但我父亲培养了我学习的兴趣，成为我一生中永不枯竭的动力，凭着它，可以有勇气去学任何想学的东西。相比之下中国式的教育往往注重知识的灌输，而忽略了孩子们兴趣的培养，甚至有的人终其一生也没有领略到学习的乐趣，对一个学者来说，这是很可悲的事情。
无论如何，孩子回家以后，需要有温习的空间和时间，遇到挫折的时候，需要得到安慰和鼓励。这是很重要的事情，所以家长和老师需要有一个良好的交流渠道，才会知道孩子遇到的问题。现在有些家长两夫妻都在做事，没有时间教导小孩，听任小孩放纵，反而要求学校负责孩子的一切，这是不负责任的。
反过来说，由于中国这 30 多年来推行计划生育的缘故，大部分父母都很宠爱家里唯一的小孩，望子成龙。很多家长对小孩期望太高，往往要求他们读一些超乎他们能力的课程。略有成就，就说他们的孩子是天才，给孩子太大的精神负担，画虎不成，反而不妙。
家长对学校的要求和期望甚殷是自然不过的事，但往往不见得了解自己孩子的能力和在学校的品行，对学校的无形压力不见得是好事。我个人觉得家长和老师中间需要建立一个畅通的桥梁，一方面家长需要尊重老师在课堂上处理学生的办法，不宜认为自己的孩子都是天才。另一方面老师教授学生，无论在学业上和品德上都需要因材施教，不宜过速，也不宜过缓。
现在很多学校在家长的压力下，尽量地将课程内容减轻，教育部也顺应潮流，很多重要的课程都受到删除。结果有些学生考试成绩很好，但学习的内容大为减少，在读大学时反而不见得能够适应该读的课程。
反过来说，现在师资一般不够好，很值得担忧，如果老师不懂他们应当教的课程，孩子绝对不能学得很好，这是明显的事实。
我们不能够漠视大部分学生的能力不强，但我们也不能不注重优良学生的培养。国家要求科教兴国，领袖人才必须要有计划地培养。家中贫困而优秀的学生必须得到政府的帮忙。一般来说，他们都很用功，值得栽培。
二、小学教育
小学生功课不宜负担太重。据闻中国很多家长从幼儿园就开始让孩子补习，甚至开始准备奥数，孩子心理负担很重，慢慢视学习为畏途。我以为小学阶段，应该进行活泼有趣的教育，将幼儿的能力和心智慢慢诱导出来。
在健全的社会里，老百姓必须要有健全的责任感，并且懂得尊重法律。西方国家的教育政策，很早就让儿童熟悉法律的意义。我的两个孩子小时候在学校就得到良好的训练，在一般的好学校，家长都会帮忙学校一些事情。例如我孩子就读的小学，有些家长是律师和法官，他们主动帮忙，将班上一部分孩子组织起来，模仿在法庭上审理案件的完整过程。这种模拟法庭活动，往往要排演很多次，而小孩也要到处找参考数据。
这是一个很好的教育方式，孩子很早就接触到专业的法律专家，从具体的情境学习美国法律精神，这不是背书背得出来的经验。律师和被告人辩论的时候，要随机应变，也要猜测陪审员的想法，陪审员则要讨论如何定被告人的罪名。在这个过程中，小孩子不单得到法律的常识，也学到做人处事的应有态度。
每逢节日，美国的学校就安排一些和节日有关的历史文化作业。比如美国感恩节与印第安人有关，校方就让孩子研究印第安人的文化、生活习俗、劳作方式。有时则是要注意自然界的现象，我的大儿子拿着望远境到处观察候鸟的形态，和百科书里的图片比较。还有研究公路上车辆行驶的速度，当然也有音乐、体育、舞蹈等训练 。种种不同的学习，轻松而有意义，从中知道如何观察，如何推理，如何表达，以及如何与同学交流。
中国的家长很多认为自己的孩子在学校没有学到什么，往往要孩子跳级，结果并不理想。这些家长往往忘记一个问题：孩子跳级的时候，受到的训练不见得完全，知识中有很多空白。久而久之，孩子会对自己失去信心。此外，孩子太小，难与年纪大的同学合群，对他的成长可能造成灾难性的结果。过去我有个博士后，十分年轻，是马来西亚知名的天才，最后受不住寂寞和压力，自杀去世了。
从不同的文化或教育系统来看数学教育，我发现一个有趣的现象：中国有许多家长太过担心孩子因为不懂做题目而考不好试、进不了最好的中学或大学。另一方面，现在有很多教育家（包括在美国的数学教育工作者），坚持学生做算术题时，非要答对每一步运算、都懂得推理不可，且极力反对孩子们背乘法表。
坦白说，我浸淫数学 50 多年了，在数学研究有突破的时候，还是会用到别人的成果。开始时，我只能假设他们的成果正确，先向前走一步，再回过头来看他们的成果是否站得住脚（事实上，现在有些名学者连后面这一步也不顾，直接就发表他们的文章了。）这表示什么呢？即使最前沿的研究，我们也不可能对所走的每一步都了解通透之后，才能进步。所以在教育儿童时，有部分靠推理，有部分靠记忆（例如背熟乘法表），这样才能学得好，学得快。
要知道，掌握一门学问需要长期浸淫，记熟了的一知半解的知识，经过长期琢磨，一般会融会贯通，渐渐了解它的意思。我小时候读唐诗、宋词、古文，根本不懂文字的意思，但朗诵起来好听，日后慢慢也就懂了。最重要的是，背诵后牢记于心的诗词歌赋，一生受用，需要遣词用句的时候，可以随笔而出。
儿童的语言训练比大人容易，所以学习英文最好在这个时期开始。当然法文、德文、拉丁文和西班牙语也都相当重要。英语已成为国际通用语言，不得不学；很多科学名词是以拉丁文为基础；而不少古典的科学文献都是用德语和法语写的，懂得这些语言都有好处。我们对于任何问题、任何事情，都应该保持不同的看法，看法愈多，对问题了解得更透澈。所以教育孩子时，一定要容许他们从不同的角度来得到问题的答案。
我认为小学教育必须特别注意品德教育。品德教育非在小时候开始不可，因为不好的习惯形成后，就很难改变了。甚么叫作品德？不同民族和不同阶层的人有不同的看法，这些看法与国民文化修养又有着有密切关系，往往与宗教信仰也有关。但是对品德的看法总是有个共通点，就是我们对我们生存的社会要担当应有的责任。除了作为守法的公民外，还要知道如何服务社会，忠于国家。亲亲，仁民，爱物。最紧要的是知道廉耻。我很惊讶的看到我指导过的某个学生抄袭别人的成果，被揭发后竟然一点不觉得惭愧，还大摇大摆的吹嘘偷来的结果。这大概是在文革时期读中小学养成的习惯吧。
我最近看到一则消息，这是关于犯下严重金融诈骗案的马多夫（Bernard Madoff）的访问。马多夫曾是美国纳斯达克证交所主席，因诈骗案被判 150 年徒刑。一般人都同意他罪有应得，因为他用所谓“庞氏骗局”诈骗了投资者的巨额资金。哈佛大学商学院教授索提斯（Eugene Soltes）曾电话采访狱中的马多夫，这是一门哈佛商学院课程计划的一部分。马多夫说他一开始以为自己的所作所为都是一般金融管理人都会做的事，不以为意，等到泥足深陷时，已经不能自拔。其实大部分犯错的人都是由轻而重，不自觉犯下大错。由此可以知道，在小时候就要教育：不可贪婪，不能带有侥幸心理；每做一件事，要警惕可能影响了多少人的生计和前途；做错事，需有羞耻心。
培养学生有文化修养，敢于创新和表达自己，领导群伦的能力，一直以来都是西方现代教育的精神。中国在这方面的投入实在不够。美国是新兴的国家，但是很多小镇都有不错的图书馆，甚至很好的博物馆。老师会带着学童去参观博物馆，灵活利用图书馆的设施，让孩子增长在课堂上没有学到的见识。现代网络极为发达，很多文化知识可以透过网路传到边远乡村的学校，的确是很有效的教育方式，但它们无法全面代替亲眼看到博物馆展览品的感受和旅游见闻。
古人评论司马迁写的《史记》，说他自幼周游名山大川，因此笔尖有奇气。这是人和大自然直接的交流，就如同一些物理学的实验，不能由计算机计算来代替。然而，若能灵活运用计算机、利用电子游戏，对孩子的教育却有很大的帮助。记得我的儿子在不懂中文的情形下，很快就看完《三国演义》的原本，那是拜玩电子游戏得到的结果。藉由游戏，他很快熟悉了一大堆当时的人物名号。这些人名频繁出现在游戏上，所以对他来说，记住这些名字毫无困难。
假如我们能制作更多有趣的电子游戏，将艰涩的科学名词（尤其是生物学和医学名词）融入游戏中，应该会有很好的效果。另外，也可以将古文谱成歌曲，以唱歌形式教学，很快就能记诵下来。我教我的小孩古文，他们大部分都忘记了，台湾的中学将《礼运大同篇》谱成歌曲，我妻子用来教育我的小孩，发现他们记得特别长久。但凡事有利必有弊，小孩子很容易沉迷于电玩，长久不息，必须有所控制。我的大儿子就曾相当沉迷其中，不易自拔。总之，我认为小学教育重点在基本的语文算术外，更要培养他们的人文科学兴趣、人格和法律的基本修养，当然体育和音乐的训练也是重要的。
三、中学教育
中学教育是年轻人终生学问的基础， 12 岁的孩子开始成熟，可以集中精神学习基本而有用的学问。中学第一年是由小学过渡的第一步，可以说是准备阶段，此时我们要让学生在重要学科上打好扎实的基础。
语文和数学是学生学习一切知识的基础，必须学好。学英文要学习文法造句拼音，学中文除了白话文外，还要学古文，因为古文是近代白话文的基础。同时最好能够背诵古文和诗词歌赋，日后作文时才懂得如何遣词用句。
此外，中国历史必须读，同时要读得透澈，对国家对同胞才会有感情。有了高雅的感情，学问事业才会做得好。我发现在美国，良好的中学都仔细讲授美国 240 多年的历史，大部分学生都以身为美国人为荣。很不幸的是，大部分中国人对自己国家悠久的历史却不甚了解，前面提到目前台湾和香港的状况，更是让人痛心，现在有少数留学生恨不得和祖国脱离关系，考其原因，大致上和他们小时候的教育有关系，他们没有学习好中国历史，对中国的文化缺乏信心。
其实好的历史学家都是优秀的文学家。读《左传》，读《史记》，读《汉书》，大气磅礡，一气呵成。他们的文章水平，非一般文学家所能企及。所以文学和历史教育是水乳交融，分不开的。同理，春秋战国时代的经书，诸子百家的文章，一直到宋明理学家解释他们哲学的经卷，都是绝妙好文，更何况其中包含了东方文化的精髓。当然，我们也应该学习西方的历史和哲学，毕竟现代科学文明的基础可以追溯到古希腊哲学家的看法，而道德的标准又受到宗教的影响，我们要和外国人打交道，不可不知道西方文明的基础。
数学是人类练习推理的主要途径，不可不知。三段论证是推理的基础，事实上，平面几何的公理化体系影响了西方两千多年来基础科学思维的发展。牛顿的力学巨著，爱因斯坦的统一场论，其基本想法都得益于欧几里得的《几何原本》，这是一本流传之广仅次于圣经的著作。有些教育学家认为平面几何的定理在现实社会中用处不大，所以建议取消在中学教导平面几何，这是极端短视的看法。
在这 50 多年来，无论物理学家、工程师或经济学家都了解到数学的重要性。没有现代数学，很难想象当今计算机、通讯和信息处理等产业的迅猛发展。物理学家从前看不起数学家，这 30 多年来的经验，却让他们认识到看似玄虚的数学理论，可以在现实的自然界中体现。前几年的诺贝尔物理学奖，即授予三位用拓扑学研究物质相变的物理学家。几何学是研究物理时空的基础，化学家用群论分析复杂的分子结构，经济学家广泛应用博弈论，生物学家需要统计学工具处理大量的实验数据。现今各界逐渐认可，数学的确是现代科学的根基。
基础数学当然以几何、代数和微积分为主，必须在高中时学好。最重要而又简单的方法就是将习题做好，课前先预习老师要教的内容也很有效。应用数学的重要分支包括概率论、统计学和组合理论。假如学生在学习这些学科时，能够结合实际应用，对掌握这些学科会有很大的帮助。
在表达和推理的学习过程中，深具意义的训练是让学生参加辩论比赛。学生们首先要准备，和伙伴配合，学习辩论的内容，懂得推理，并要随机应变，能表达自己的意见，又要有风度。一般来说，辩论比赛得奖的中学生，美国的名校都有兴趣录取。
接下来讨论其他理科的学习。物理学是一门重要的学科，牛顿力学、电磁学的基本意义和理论必须要弄清楚。同时精通这些学问的理论和实验的中学物理老师并不多。除了实验室必须有好的仪器，老师最好也受过专业训练，才有能力演示有启发性的实验，让学生了解课本知识和自然界现象的比较。
近代化学和生物学的进展一日千里，已非当年我读中学时可以想象。我的两个小孩在中学上现代微生物学这门课时，课本都是大学教材。他们很早就有能力做实验，甚至得到新结果。这得益于老师的指导能力和实验室的先进仪器。
一般来说，中国的中学生花太多时间准备高考或奥数。考试考得好表示学生的基础不错，奥数考得好表示学生对某类刁难的习题掌握得不错。但是学生需要知道的知识远比这些问题多得多，而填鸭式的训练往往抹杀了学生做学问的兴趣和自由选取题目的空间。
要改变高考并不容易，因为它有一定的重要性，毕竟这是中国农村小孩能够进入上层社会的重要途径，让偏远地区的家庭拥有希望，享受公平教育，增强中国广大地区的凝聚力。但是高考体系也间接打击了学生原创能力的训练。所以我认为，高考制度不能废，但可鼓励私立大学的建立，另一方面将目前高校计划招生的名额，分配一些给有特殊表现的中学生。这类学生的选拔，可以借鉴美国大学的方法。
中学生一方面精力旺盛，一方面思想还未成熟，容易意气用事。尤其受到不良诱惑或挑衅之后，可能受人利用，或者不顾一切做出后悔终生的事。现在中国很多独生子女受到过度宠爱，不见得了解人世间的艰辛，所以遇到困境时往往手足无措，甚至颓唐而不能自拔。我在中学时从老师那里学到“开卷有益”的重要性，好的书当然要多读，坏的书也要看，但要懂得去比较个中的区别何在。日后在社会上、在学术界难免会遇到伪君子，遇到无赖，读过描述这类人的书籍后，冲击就不会太大。
一个人最后能够成功，不是由于他懂得走快捷方式，争取到最好的结果，而是他能不断从失败中站立起来，并且从失败中学习成功的方法。我自己做一个问题往往花 5 年、10 年甚至 20 年的工夫，不断努力去学习，失败后再闯新路，才能成功。我们在课堂上学到的内容都是前人经过多年努力得到的成果，但我们需要学习他们在奋斗中如何成功的方法。所以中学生花一段时间体验中下层社会的工作，想办法解决自己的生活问题，才能更了解社会，才知道自己其实是相当幸福的，经过磨练后，即使失败也不会气馁。记得我的小儿子在高二那年到百货公司打了两个月的工后，对自己看法就不一样了。
父亲的去世对我产生深刻的影响，那年我们学校开学时，学生一同唱一首歌，叫《青年向上歌》，我的感触特别深：“我要真诚，莫负人家信任深。我要坚强，人间苦难才能当。” 在学习这些经验时，我们也要懂得如何从中得到心灵的享受。有人喜欢运动，有人喜欢音乐，有人喜欢去帮助别人。我个人喜欢读诗词，古文和历史，颇能寄托我的感情。记得小时候读陶渊明的《五柳先生传 》说：“好读书，不求甚解”，大家都认为不对。其实大家忘记了，此处重点在于“好读书”。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。我们只要喜欢，不一定每次读书都要澈底搞明白一切。即使念数理学科也是如此。只要保持兴趣，以后会逐渐明白。
四、课程的选择
我在中学二年级学习平面几何，第一次接触到简洁优雅的几何定理，更诧异于它们可以由五个简单的几何公理来推导，使我赞叹几何的美丽。
平面几何所提供的不单是漂亮而重要的几何定理，更重要的是它提供了在中学期间唯一的逻辑训练，是一个年轻人所必需的知识。
我很惊讶地听说，与要求学生懂得每一步推导的教育方式相反，竟然有数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。诚然，从一个没有逻辑思想的小孩，到接受这种训练是有代价的，但这种代价恐怕比学习中学其他学科来得更为重要，无论做科学家，做政治家，做一个成功的商人，都需要有系统有逻辑的训练，我希望我们中学把这个训练继续下去。几何学里面一个极为重要的概念就是对称。希腊人喜爱柏拉图多面体，就是因为它们具有极好的对称性。他们甚至把它们与宇宙的五个元素联系起来：
火 —— 正四面体
土 —— 正六面体
气 —— 正八面体
水 —— 正二十面体
正十二面体代表第五元素，乃是宇宙的基本要素。
这种解释大自然的方法虽然并不成功，但是对称的观念却由始至终地左右了物理学的发展，并终于演化成群的观念。这个概念今天已经贯穿到现代数学和物理及其他自然科学，工程应用等许多领域。
我个人认为，即便在目前应试教育的非理想框架下，比较优良的学生也应该在中学时期就学习并掌握微积分及群的基本概念，并将它们运用到对中学数学和物理等的学习和理解中去。
牛顿因为物理学的需要而发现了微积分。而我们中学物理课为什么难教难学，其中一个原因是要避免用微积分和群论，这背离了物理学发展的历史规律。
至于三角代数方程，概率论和简单的微积分都是重要的学科，这对于以后想学理工科或经济金融的学生都极为重要。
另外我还想谈谈体育、音乐、美术以及这些课程与数学的关系。柏拉图于《理想国》中以体育和音乐为教育之基，体能的训练让我们能够集中精神，音乐和美术则能陶冶性情。从古代希腊人和儒家教育都注重这两方面的训练，他们对学问和人格训练至为重要。
从表面上看，音乐美是用耳朵来感受，几何美是用眼睛来感觉，但是对美的感觉都是一种身心感受，数学本身就是追求美的过程。二十世纪伟大的法国几何学家 Élie Cartan 也说：“在听数学大师演说数学时，我感觉到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬（Beethoven）在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。”
雕塑艺术，是以一定的物质材料，塑造可视的平面或立体形象，来反映客观世界和表达对客观世界的感受的一种艺术形式。而数学家也极为注重美的追求，也注意到美的表现。伟大的数学家 Hermann Weyl 就说过：假如我要在大自然的真实和数学里面的美做一个选择的话，我宁愿选择美。很幸运的是：自然界的真理往往是极为美妙的。
普林斯顿高等研究所的徽章是真和美，左手面是裸体的女神，右手面是穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、音乐家和数学家都在不断的发掘美的意义，和如何去表达他们由大自然众生诱导出来的美。所以我们需要教导学生如何去了解大自然的美。
现在来谈谈体育。无论希腊哲学也好，儒家哲学也好，都注重体魄的训练。亚里士多德认为希腊人有超卓的意志（High-mindedness），意旨希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。综观古今，大部分数学家主要贡献都在年轻时代，这点与青年人有良好的体魄有关。
有了良好的体魄，在解决问题时，才能集中精神。重要的问题往往要经过多年持久集中精力才能够解决。也正是因为这样，学者对自己追寻的学问必须要有浓厚的热情。正如荷马史诗里面描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前，又或如玄奘西行，有着无比的毅力，才能成功。
现在我来谈谈如何教好数学这个学科，这是一个有意义的问题。有很多教育学家反对学生记熟一些公式，凡事都需由基本原理来推导，我想这是一个很错误的想法，即使大学问家也不能凡事都这样做，必须基于前人做过的学问来向前发展。他们都反复思考前人的学问才找出整个学问的宏观看法。
正如背诵乘法表可让我们快速掌握四则运算，物理学家或工程学家大量使用数学家推导的公式而不发生疑问，同样也使科学不停地进步。可见学习的过程有时不见得渐进，有时也容许突进。
最出名的一个例子，就是欧拉公式
这个公式以后由傅立叶（Fourier）发展成傅立叶级数的重要部分，成为波动力学和量子力学的基础，威力可谓无穷。我们不难推导它，但是有些学者坚持我们学习它时，必须找到它的直观意义，我认为没有这个必要。事实上，他们忽略了数学符号运算的威力。
很多中学都不教微积分，但是美国比较好的中学都有微积分的课程，其实中世纪的科学革命的基础在于微积分的建立，而我们的孩子不懂得微积分，等于是回复到中世纪以前的黑暗时代，实在可惜。很多中学生喜欢参加的奥数竞赛就不考微积分，所以有不少奥数金牌的学生以后没有能力成为好的数学家。
我听说很多小学或是中学的老师在想让学生只用规定的方法去学习或得到老师所问问题的答案，如果学生不是用老师所希望的方式回答，就认为该学生的答案是错误的。这实际上是非常悲哀的事情。
学生需要自信，所以在解题时我们需要放任他们用任何能得到正确答案的方法。如果老师认为学生并未了解到他们自己提供的方法，老师可以用很多方式改变问题，问其他相关的问题，如果学生们依然可以用他（她）的方法来得到正确的答案，这就意味着学生了解他自己的方法，值得鼓励。即使学生不明白为什么他们用的方法有效，他们已经掌握了一定的知识，不应该只得到零分。
实际上，很多工程师甚至物理学家并不严格地理解他们用来解决问题的方法，但是他们知道如何去用此方法。至于那些关心如何严格推导数学方法的数学家，往往在了解方法如何应用后，才知道如何去证明这些方法是对的。大部分数学家都是如此向前迈进的。那又为何要强迫小孩在他们学习过程中非要用某个特定的方法不可呢？
五、学习的兴趣
物理学的基本定律说物体总是寻找最低能量的状态，在这种状态下才是最稳定的。孩子的学习态度基本也有同样的状况，他们希望找到各种理由，使得他们有时间去做其他他们喜欢的事。就如电子在一定轨道上运行，因为这是它的能量所容许的，但有其他能量刺激这些电子后，它可以跳跃。对孩子的学习，我们也需要有新的能力使它跳跃。
一方面可通过家庭教育，如前面提到我父亲对我学习兴趣的培养；另一方面，这种能力也可以是来自老师在课堂上的刺激，例如考试的分数，例如一些有趣的问题，例如因为历史上数学故事的描述而引起孩子的兴趣，例如比赛时引起的竞争心理。但这种刺激，最好还是顺其自然。让他们觉得学习是有意义的，要培养他们浓厚的好奇心，去发掘数学的妙处和数学在日常生活或其他学科的用处。学生都喜欢听故事，历史上有趣的数学故事很多，值得学生们学习。
美国的中学注重通才教育，数学以外的学科，例如文学、物理学、哲学，都会刺激学生的思考能力，值得鼓励。
六、群体的训练、人格的培养
很多家长认为他们的小孩在学校里不能与人相处，并享受到它的好处，就不如在家里请一位家庭教师来教导。但是现代社会乃是一个合群的社会，学生必须学习与同学相处，并尊重有能力有学问的老师和同学。学生必须懂得如何尊重同学的长处，帮忙有需要的同学。学生要培养与他人沟通合作能力，独立思考的能力，团队协作的精神，对周围人众和对社会的责任感等等，并在这种环境中去训练自己。
美国的教学体系，有很多值得我们学习，尽管他们的体系也不见得是一个理想的体系。比如美国的高中和大学对成绩就不给出分数，只给出 A，B，C，D 和 F。这不是件坏事情。这可以消弱小孩之间不必要的竞争。为分数的斤斤计较以及争夺班里的第一名，会破坏学生们之间的合作，集体的力量得不到尊重。这个应该有所改变。
在国外，中小学教育里特别注重于对学生独立人格和品性的培养，学生的个性和个人特点也受到充分的尊重和被肯定。不少学校把对个人品德的要求按头一个字母缩写成“pride”（荣誉），即 perseverance（坚持），respect（尊重），integrity（正直），diligence（勤奋）， excellence（优秀），作为学生自我要求的基本要点。
这种美德的评价要尊重人的本性。对于学生本人，要形成自己独立的价值观，甚至不能被外部的评价所左右，诸如学校的奖励等。
对中学生来说，永保一颗纯真的童心，保持人与生俱来的求知欲和创造性，展示自己的个性，这对今后的学习和工作是至关重要的。衷心地希望在座的各位可爱的孩子们快快乐乐、健康地成长。
七、中学到大学的途径
我认识不少家长，他们要求孩子集中精力去做高考题，不需要花时间在其他“无谓”的事上。但是他们忘记了孩子的一生都要接触社会，他们长大后，要追求成功，免不了要和有修养的人士来往，自己能够没有修养吗？在中学最后几年，很多家长会想办法影响他们的孩子对于大学专业的选择。他们的想法往往是从自己的立场出发，很少人想到孩子真正的兴趣所在。举例来说，我看到很多对数学有浓厚兴趣的中学生不敢以数学为专业，主要原因是家长们认为数学不会为孩子带来财富。
我年轻时，可以选择很多不同的容易赚钱的专业。幸运的是，母亲给我完全自由的选择，由我自己依兴趣决定。其实很多家长忘了一个很简单的事实：我们希望孩子拥有愉快的人生。孩子们对自己的专业有兴趣、有信心，才能事业有成。大家都说行行出状元，但是在替孩子决定专业时，一般会建议读金融有关的学科。他们也忘记了，名校的金融类专业，很多基本学科例如数学是必修的。
如何选择专业是极为重要的一件事，影响孩子的一生。家长和老师都应该从旁辅助，但最重要的是要以孩子的兴趣为主。孩子在成长过程中很容易受到同学、老师和家长的影响，所以我建议孩子多阅读成功人士的传记。美国很多学校都会让学生执行一个习作：去访问及并撰写成功人士的传记。每年我都收到中学生要求我提供数据以便撰写我的文章的请求，有些学生则写家族中某些有成就人士的传记。我认为这些习作对学生有很好的影响，在过程中，孩子可以学到人生的目标和成功的要素。
我中学时读过不少名人传记和故事，尤其是关于陈省身先生的文章，特别使我感动。选择大学当然是一件重要的事，这个问题和我们的志愿有莫大的关系。例如，想读工科和创业的学生，顶级名校如斯坦福（Stanford）和麻省理工学院（MIT）就不错，文理科哈佛和普林斯顿都很好。但这些名校招生不多，录取殊为不易。在美国很多名气一般的大学，也许有些学科比名校还要出色，也值得选择。现在中国几所名校也都不差，有些学科甚至比国外大学还要出色，决定出国留学前也可以认真考虑。
八、大学教育
由于长期受到中学教育影响，中学生不见得很了解大学教育的目的和教授的期望。初入大学的 学生往往以为某些大学先修课程（advanced placement）他在中学时已经学过，到了大学后可以不必再修。但是中学老师教学的重点和大学教师的重点不太一样，往往学生跳过这些学科去修更高深的学科时，才发觉自己的水平不够。我在大学念书时，有些课时间重迭，我两门都修，但只听其中一门。尽管我两门课都考试，成绩也都是班上最好，但没有上过的课，总觉得有些不足，在应用其中技巧时，无法得心应手。所以奉劝年轻的学生，要尽量打好基础，不要贪图进度，急着毕业。
大学生如果立志选择科学研究的道路，应多修读大师级教授的课，或旁听名家的演讲。名校聘请大教授，自然有其道理。当这些教授和他们的团队在学生面前展示他们的最新成果时，对喜爱科学的听众来说，会产生一种难以描述的气氛。亲眼目睹举世闻名的重大发现首次向世人展示，令人激动兴奋不已。这种气氛会激发大学生探索创新的热情，而不觉辛苦。毕竟，在你眼前的教授可以和你交谈，他的团队外表看来也不见得特别显眼，所以你也能建立起信心，去做重要的学问。一般来说，我宁愿见到一个自以为是而骄傲的学生，而不愿见到死气沉沉、自怨自艾的年轻人。
在中国，传统教育的体制和美国大学不太一样。中国基本上秉承传统政教不分的政策：以吏为师。学生基本上是学徒，由教师指导，向教师学习。所以韩愈说：师者，所以传道授业解惑也。但是美国的大学生，除了向老师学习专业知识外，很重要的一面是和同学交流，并学习如何创造新的思维。老师和学生密切交流，一同寻求解决社会和自然界的问题和迷惑的现象。其中的基本精神是，老师也从年轻学子想法中得到启发，共同进步。所以美国名校花很多工夫去挑选优秀的学生。好的学生不单有能力吸收知识，他们也丰富校园的文化气息，提供新颖的想法。为了使得家境贫寒的学生也能进入校园，学校一般提供大量的奖学金。
每所大学有不同的作风， MIT 对学生的专业课要求很高。哈佛要求也很高，但要求学生在专业以外，还要注意心智的平衡发展，将来能够成为领袖。一般来说，美国大学鼓励学生吸收本科专业以外的知识。我有个朋友的儿子在哈佛大学念埃及文学，毕业不到两年，成立了一家相当成功的高科技公司。原来他修读过的科目远远超过了所在专业的要求。
哈佛大学为一年级新生提供了很有趣味的新人讨论班，邀请校内名教授来授课，每班 12 个学生，一起和这些名教授在小教室里讨论各种有趣的事情。举例来说，我们的理学院长喜欢帆船，他花一学期时间向学生解释风帆的种种物理问题，又带学生们到他的帆船上实习这些原理。学生在亲身实践下，学习力学和流体原理，新鲜而有意义。另外一名物理教授找了 12 部电影，叫学生找出电影里不合基本物理原理的镜头。在这样的环境下，学生和教授能有密切的交流，很快会知道如何去做一流的学问。
美国的教育讲究训练学生的创新能力，但创新的基础在质疑问难。假如学生对于见到的事物、阅读过的书籍文章都没有兴趣，不愿意去发掘问题、找寻其中真意的话，这些学生不可能有创意的成果。我念大学时，某位数学老师的教学方式是拿一本书来，叫学生找寻书上的错误，并加以纠正。这是很好的训练。听说犹太人教导小孩，也是同样要求小孩提问大量的问题，甚至刻意构建一些有疏漏的理论，要求孩子们找出其中的错误。这种训练方式很值得我们学习。
很多名校的学生在暑期间会到不同地方去实习，可能是大实验室，可能是政府机关，可能是大公司，甚至到国外交流。对学生来说确实很有意义，不单可增广见闻，认识不同地方的文化，也开阔了学生的胸襟。在毕业前一年，也有老师指导他们写学士论文，尝试自己做研究的滋味。我在哈佛大学数学系这么多年来，常会见到十分有水平的学士论文，往往使我惊叹不已。
当然我们会问，为什么美国名校能够做到这点，而中国名校还没有能力培养出极为出色的大学生和高水平的研究生？师资和学术气氛是重要的因素。其实经过十年来的努力，中国高校大学生的程度已经比先前大有进步。十年来我主持的大学生数学竞赛，看着每年中国学生不断进步，不少大学生在美国名校读研究所时崭露头角，使人欣喜。但是楚材晋用，大部分留学生学业有成后，只愿意留在国外，这意味着中国教育部门和高校花了九牛二虎之力，却为他人作嫁，终究不是政府培养人才的目标。
中国要成为实质且能久续的大国，必须要有自己创新的能力，在科技文化上要有深度，才能够与欧、美、日这些科技大国争长短。这个问题非从最基本的教育来解决不可。如何创造良好的环境，在中国土地上培养出一流的大学生和研究生，可以说是当务之急。
上面讨论的内容主要是学生从小学到大学部以前应该注意的事情。至于如何培养杰出的研究生，以及如何成长为大师，讲究的是人生境界的培养、哲学思维的修炼，而上面所谈的则是难以改变的基础功夫。发展第一流科学研究，是西方社会花了数百年的投资才完成的基业，绝对不能轻视。记得有一次访问哈尔滨工业大学时，有位年轻人跟我说，中国的航太技术己远远超过西方，有人又跟我说，我们在生物学的成就已远远超过哈佛大学，这使我想起 50 年前赶英超美的大话。我们确实大有进步，但是还没有足够的能力大规模产生引领世界的科学和技术，我们还需要沉着气去追赶。
谢谢！
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